Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC与BD相交于点O．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若M是PB上的一点，且CM⊥PB，求

|PM|

|MB|

的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC与BD相交于点O，根据平行四边形两条对角线互相平分及等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理，我们易得到结论．
（II）以O为坐标原点，建立坐标系，分别求出各顶点坐标，进而求出直线 PB的方向向量与平面PCD的法向量，代入线面夹角的向量法公式，即可求出答案．
（III）设出M点的坐标，并由由M是PB上的一点，且CM⊥PB，我们易构造方程组，求出M点的坐标，进而代入向量模的计算公式，计算出

|PM|

|MB|

的值．

解答：（Ⅰ）证明：因为ABCD为菱形，
所以O为AC，BD的中点（1分）
因为PB=PD，PA=PC，
所以PO⊥BD，PO⊥AC
所以PO⊥底面ABCD（3分）
（Ⅱ）解：因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD
建立如图所示空间直角坐标系
又∠ABC=60°，PA=AB=2
得OA=1，OB=

3

，OP=1（4分）
所以P(0，0，1)，B(0，-

3

，0)，C(1，0，0)，D(0，

3

，0)

PB

=(0，-

3

，-1)，

PC

=(1，0，-1)，

PD

=(0，

3

，-1)（5分）
设平面PCD的法向量

m

=(x，y，z)
有

m • PC =0 m • PD =0

所以

x-z=0 3 y-z=0

解得

x=z y= 3 3 z

所以

m

=(3，

3

，3)（8分）

m

•

PB

=|

m

|•|

PB

|cos?

m

，

PB

＞cos?

m

，

PB

＞=

-6

21×4

=-

21

7

（9分）
PB与平面PCD所成角的正弦值为

21

7

（10分）
（Ⅲ）解：因为点M在PB上，所以

PM

=λ

PB

=λ(0，-

3

，-1)
所以M(0，-

3

λ，-λ+1)，

CM

=(-1，-

3

λ，-λ+1)
因为CM⊥PB
所以　

CM

•

PB

=0，得3λ+λ-1=0解得λ=

1

4

所以

|PM|

|MB|

=

1

3

（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中选择合适的点及坐标轴方向，建立空间坐标系，将问题转化为一个向量问题是解答此类问题的关键．