Question

（2007•广州模拟）如图，四面体ABCD，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

，
（1）求证：AO⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证线线垂直可通过线面垂直得到线线垂直故可根据条件得到AO⊥BD以及求出AO，OC的值然后可得出AO²+OC²=AC²即AO⊥OC则根据线面垂直的判定定理可得AO⊥面BCD后即可得证．
（2）可利用空间向量法作：由（1）得AO，BO，CO两两互相垂直故可以OB、OC、OA为x、y、z轴建立空间直角坐标系然后求出面ABC面ACD的法向量

n

，

v

再利用向量的夹角公式cos＜

n

，

v

＞=

n • v

| n |•| v |

即可得解．

解答：（1）证明：∵AB=AD=

2

，O是BD的中点
∴AO⊥BD
又∵BD=2
∴AD=

2

∵CB=CD=2
∴OC=

3

∵AO²+OC²=4=AC²
∴∠AOC=90°
∴AO⊥OC   
 又∵BD∩OC=O
∴AO⊥面BCD
∴AO⊥BC
（2）解：分别以OB、OC、OA为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则 B（1，0，0）、C（0，

3

，0）、A（0，0，1）、D（-1，0，0）

AC

=（0，

3

，-1）

BC

（-1，

3

，0）

DC

=（1，

3

，0）
设面ABC面ACD的法向量分别为

n

=（1，y₁，z₁），

v

=（1，y₂，z₂）
∴

n • AC =0 n • BC =0

⇒

n

=（1，-

3

3

，1）

v • AC =0 v • DC =0

⇒

v

=（1，-

3

3

，-1）
∴cos＜

n

，

v

＞=

n • v

| n |•| v |

=

1

7

∴二面角B-AC-D的余弦值为

1

7

点评：本题主要考察了线线垂直的证明和二面角的求解，属常考题型，较难．解题的关键是要掌握线线垂直常通过线面垂直得出而对于二面角的求解可采用向量法求解但计算一定要准确无误！