Question

已知函数
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值．
（2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间上是增函数，则f（x）在区间上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间上恒大于0即可．
解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
∵当a=0时，f（x）=2x-lnx，则
∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x	（0，）		（，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）		极小值

∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．
（2）由已知，得
若a=0，由f'（x）＞0得，显然不合题意
若a≠0∵函数f（x）区间是增函数
∴f'（x）≥0对恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0对恒成立
即 恒成立   故
而当，函数，∴实数a的取值范围为a≥3．
点评：本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．