Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线上。

（1）求a₁和a₂的值；    

（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；

（3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵a_n是S_n与2的等差中项          ∴S_n=2a_n-2         ∴a₁=S₁=2a₁-2，

解得a₁=2         a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4

   （2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，又S_n—S_n-1=a_n，  ∴a_n=2a_n-2a_n-1， 

又a_n≠0，  ∴，即数列{a_n}是等比数列  

 

∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ     ∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，

 

    ∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，  

   （3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ       ∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，

 

    ∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹

 

    则   -T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

 

    即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

 

      ∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6  

 

【解析】略