Question

（满分12分）如右图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中点。

（Ⅰ）求证：B₁C//平面A₁BD；
（Ⅰ）求二面角A—A₁B—D的余弦值。

Answer 1

(1)连交于点，连.
由是的中点，是的中点，得到，推出∥平面.
(2) .

试题分析：(1)证明：连交于点，连.
则是的中点，
∵是的中点，∴
∵平面，平面，∴∥平面.
(2)法一：设,∵,∴,且，
作，连
∵平面⊥平面，∴平面，
∴∴就是二面角的平面角，
在中，，
在中，
，即二面角的余弦值是.…………12分
解法二：如图，建立空间直角坐标系.

则，，，.
∴，，， 
设平面的法向量是，则
由，取
设平面的法向量是，则
由，取
记二面角的大小是，则，
即二面角的余弦值是.
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，应用空间向量，使问题解答得以简化。本解答提供了两种解法，相互对比，各有优点。