题目内容

设数列{a_n}满足： $数学公式$
（1）令b_n=a_n+1-a_n，（n=1，2…）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴{b_n}是以公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，且 $\text{[math]}$
∴b_n= $\text{[math]}$
（2）由 $\text{[math]}$ 得
a_n+1-a₁=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）
= $\text{[math]}$
注意到a₁=1，可得 $\text{[math]}$
记数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和为T_n，则，
$\text{[math]}$
两式相减得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$
从而S_n=a₁+2a₂+…+na_n=3（1+2+3+…+n）-2T_n
= $\text{[math]}$
分析：（1）由b_n=a_n+1-a_n和 $\text{[math]}$ 推出b_n与b_n-1之间的关系，求出数列的b_n的通项公式；
（2）由（1）中求出的数列{b_n}的通项公式，求出数列{a_n}的通项公式，从而求出数列{na_n}的通项公式，进一步求出S_n．
点评：根据递推公式求数列的通项公式，关键是探讨出相邻两项之间的关系；数列求和抓住通项公式是求和的关键；属中档题．

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