题目内容

设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
分析：（1）由an=
1
3
an+
1
3
，两边减去
1
2
，构造得出an-
1
2
=
1
3
(an-1-
1
2
)（n∈N*，n≥2），即可证明数列{an-
1
2
}是以
1
3
为公比的等比数列，通过求出{an-
1
2
}的通项，求出数列{an}的通项an；
（2）根据（1）的结果，利用分组求和：分成等比数列{(
1
3
)n}与常数列{
1
2
}的和计算求解
解答：解：（1）由an=
1
3
an+
1
3
，两边减去
1
2
得an-
1
2
=
1
3
(an-1-
1
2
)（n∈N*，n≥2）
根据等比数列的定义，可知数列{an-
1
2
}是以
1
3
为公比的等比数列，又首项为a1-
1
2
=
5
6
-
1
2
=
1
3

所以an-
1
2
=(
1
3
)n，所以an=
1
2
+(
1
3
)n
（2）可以分成等比数列{(
1
3
)n}与常数列{
1
2
}的和．由分组求和得Sn=
1
3
(1-(
1
3
)n)
1-
1
3
+
1
2
n=
1
2
-
1
2
(
1
3
)n+
1
2
n
点评：本题考查等比数列的判定、通项公式求解．考查变形构造、转化、计算能力．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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