Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小．

Answer 1

分析：（1）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．
（2）由三角形中等比例关系可得BE⊥PD，由于CD=BD=得

2

，BC=2，可知三角形BCD为直角三角形，即CD⊥DB．同时利用勾股定理也可得CD⊥PD，即可得CD⊥平面PDB．即CD⊥BE，即可得证．
（3）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A-PD-B的平面角．

解答：解：（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，
∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角（2分）
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．
∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=

2

． （4分）
∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°
即异面直线PA与CD所成的角等于60°． （5分）
（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB=1，BD=

2

，∴PD=

3

∵DE=2PE，∴PE=

3

3

则

PE

PB

=

PB

PD

=

1

3

，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD、（7分）
由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．
∴CD⊥BD、又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、
∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE （9分）
∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD、（10分）
（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、
过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、
∴∠AHO为二面角A-PD-B的平面角． （12分）
在Rt△ABD中，AO=

2

2

．
在Rt△PAD中，AH=

PA•AD

PD

=

2 •1

3

=

6

3

． （14分）
在Rt△AOH中，sin∠AHO=

AO

AH

=

2 2

6 3

=

3

2

．
∴∠AHO=60°．
即二面角A-PD-B的大小为60°． （15分）

点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．