Question

设椭圆

x2

2

+y2=1上一点P与原点O的距离为|OP|=r₁，OP的倾斜角为θ，将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q，若|OQ|=r₂，则r₁r₂的最小值为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  4

  3

• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：设直线OP方程为y=kx，点P（x₁，y₁），利用方程组联解的方法可得：x12=

2

1+2k2

，y12=

2k2

1+2k2

，所以r₁²=x12+y12=

2+2k2

1+2k2

．同理可得到Q（x₂，y₂）满足：r₂²=x22+y22=

2+2k2

2+k2

，所以有

1

r12

+

1

r22

=

3

2

，化简整理，结合基本不等式，可得r₁r₂≥

4

3

，当且仅当r₁=r₂，即k²=1时，r₁r₂取到最小值

4

3

．

解答：解：设直线OP方程为y=kx，点P（x₁，y₁）
∵点P是椭圆

x2

2

+y2=1与直线y=kx的交点
∴由

y=kx x2 2 +y2=1

可得：x12=

1

1 2 +k2

=

2

1+2k2

，y12=k²x²=

2k2

1+2k2

∵点P与原点O的距离为|OP|=r₁，
∴r₁²=x12+y12=

1+k2

1 2 +k2

=

2+2k2

1+2k2

，
∵OQ是由OP绕原点逆时针旋转90°而得，
∴直线OQ方程为y=

1

k

x，
再设Q（x₂，y₂），用类似于求r₁²的方法，可得r₂²=x22+y22=

2+2k2

2+k2

∴r₁、r₂满足

1

r12

+

1

r22

=

3

2

，可得r12+r22=

3

2

r12r22
根据基本不等式，可得r12+r22≥2r₁r₂
∴

3

2

r12r22≥2r₁r₂，即r₁r₂≥

4

3

，当且仅当r₁=r₂，即k²=1时，r₁r₂取到最小值

4

3

故选B

点评：本题给出椭圆上两点P、Q满足∠POQ=90°，求OP、OQ之积的最小值，着重考查了椭圆的基本概念、直线与椭圆的关系和基本不等式等知识点，属于中档题．