Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．
（1）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的方程；
（2）求过点O、F并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由直线AB过椭圆的左焦点，知方程有两个不等实根，由此能求出直线AB的方程．
（2）由a²=2，b²=1，c=1，F（-1，0），l：x=-2，知圆过O、F，圆心M在x=-

1

2

上，由此能求出圆的方程．

解答：解：（1）设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入

x2

2

+y2=1
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵直线AB过椭圆的左焦点，
∴方程有两个不等实根，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点N（x₀，y₀），
则x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
x0=

1

2

(x1+x2)=-

2k2

2k2+1

…（3分）y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，
∵线段AB的中点在直线x+y=0上，
∴x0+y0=-

2k2

2k2+1

+

k

2k2+1

=0，
解得k=0或k=

1

2

…（5分）
当直线AB与x轴垂直时，
线段AB的中点F不在直线x+y=0上
∴直线AB的方程是y=0或x-2y+1=0…（6分）
（2）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2…（9分）
∴圆过O、F∴圆心M在x=-

1

2

上，
设M(-

1

2

，t)
则圆半径r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

，…（11分）
由|OM|=r得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，
解之得t=±

2

，
故所求圆的方程为(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

…（12分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．