Question

已知函数f（x）=-x²+4|x|+5．
（1）画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象；
（2）解关于x的不等式f（x）＜7；
（3）当时，证明：f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=，求出函数的对称轴，顶点坐标，与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，能够画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象．
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：或者，由此能求出原不等式的解集．
（3）原不等式等价转化为下列不等式组：或者，由此能够证明f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．
解答：解：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=，
∵[-5，5]，
∴由-x²+4x+5=0，得x₁=-1（舍），x₂=5；
由-x²-4x+5=0，得x₁=1（舍），x₂=-5．
∴图象与x轴的两个交点（-5，0），（5，0），
y=-x²-4x+5的对称轴是x=-2，最高点是（-2，9），y=-x²+4x+5的对称轴是x=2，最高点是（2，9），
与y轴的交点是（0，5），
∴其图象是如右图
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：或者，
解得不等式的解为或或或．…（4分）
（或者由x²-4|x|+2＞0，解得或）
所以原不等式的解为：．…（6分）
（3）证法1：原不等式等价转化为下列不等式组：
（Ⅰ）
或者（Ⅱ）（2分）
（Ⅰ）不等式2中，判别式，
因为，
所以，0≤（k-4）²＜8，
即△₁＜0；所以当x＜0时，f（x）＜kx+4k+7恒成立．…（5分）
（Ⅱ）在不等式4中，判别式，
因为，
所以，0≤（k-4）²＜8，
又，
所以△₂＜0．
（或者）
所以当x≥0时，f（x）＜kx+4k+7恒成立．
综上讨论，得到：当时，
f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．…（8分）
点评：本题考查函数图象的画法，考查不等式的解法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．