题目内容

在△ABC中，∠A=30°，AB=4，则|
CA
+3
CB
|的最小值为（　　）
分析：由题意将
CA
+3
CB
化成4
CA
+3
AB
，用向量模的公式结合已知条件，可得|
CA
+3
CB
|2=16|
CA
|2-48
3
|
CA
|+144，为关于|
CA
|的二次函数，结合二次函数的图象与性质，得|
CA
+3
CB
|2的最小值为36，由此即得|
CA
+3
CB
|的最小值．
解答：解：
CA
+3
CB
=
CA
+3(
CA
+
AB
)=4
CA
+3
AB

∴|
CA
+3
CB
|2=|4
CA
+3
AB
|2=16
CA
2+24
CA
•
AB
+9
AB
2．
∵∠A=30°，|
AB
|=4，
∴
CA
•
AB
=|
CA
|•|
AB
|cos（π-A）=-2
3
|
CA
|
因此，|
CA
+3
CB
|2=16|
CA
|2+24×（-2
3
|
CA
|）+144
=16|
CA
|2-48
3
|
CA
|+144，
此为关于|
CA
|的二次函数，当|
CA
|=
3
3
2
时，|
CA
+3
CB
|2的最小值为36
∴|
CA
+3
CB
|的最小值为6，即|
CA
+3
CB
|的最小值为6
故选：B
点评：本题给出三角形中一条边和一个角，求关于边长向量式的模的最小值，着重考查了平面向量的数量积的运算公式和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•临沂一模）已知函数f(x)=cos
x
2
-
3
sin
x
2
．
（I）若x∈[-2π，2π]，求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若f(2A-
2
3
π)=
4
3
，sinB=
5
cosC，a=
2
，求△ABC的面积．
（2009•烟台二模）在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边．已知b2+c2-a2=bc
（1）求角A的值；
（2）若a=
3
，设内角B为x，周长为y，求y=f（x）的最大值．
（2013•保定一模）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=
π
4
，则（cosA一cosC）2的值为
2
2
．
在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c设向量
m
=（a，cosB），
n
=（b，cosA）且
m
∥
n
，
m
≠
n

（Ⅰ）若sinA+sinB=
6
2
，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b试确定x的取值范围．
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=
7
，∠B=
π
3
，则△ABC的面积为（　　）

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