Question

(16分)已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列

（1）求证:若m+n=2p,则

（2）若 ，是否存在，有？请说明理由；

（3）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；

Answer 1

(16分)

解：（1）a_m=a₁+(m-1)d

         a_n=a₁+(n-1)d

      ∴a_m+a_n=2a₁+(m+n-2)d

      ∵m+n=2p           ∴a_m+a_n=2a₁+(2p-2)d

∵a₁=(p-1)d=a_p          ∴a_m+a_n=2a_p

b_m=b₁q^m-1

b_n=b₁q^n-1

b_mb_n=b₁²q^m+n-2

∵m+n=2p   

∴b_mb_n=b₁²q^2p-2

      =bq^p-1·b₁q^p-1=b_p²     ………………………………………………6分

（2）由得，

整理后，可得

、，为整数

不存在、，使等式成立。     ……………………………………11分

（3）当时，则

即，其中是大于等于的整数

反之当时，其中是大于等于的整数，则，

显然，其中

、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数…………16分