Question

（本小题满分16分）

已知函数，数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.若

 (Ⅰ)求数列,的通项公式；     

(Ⅱ)设数列对任意自然数均有，求 的值；

(Ⅲ)试比较与的大小.

Answer 1

已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q

（）的等比数列.若

(Ⅰ)求数列，的通项公式；     

(Ⅱ)设数列对任意自然数n均有，求 的值；

(Ⅲ)试比较与的大小.

(Ⅰ) ∵ ， ∴ .

即 ， 解得 d =2.

∴ .  ∴ . ………………………………… 2分

∵ , ∴ .

∵ ,  ∴ .

又， ∴ .………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由题设知 ， ∴.

     当时, ,

  ,

     两式相减,得.

     ∴  (适合).…………………………… 7分

     设T=,

∴

两式相减 ,得

             

              .

              ∴ .…………………………………………………10分

(Ⅲ) ,   .

         现只须比较与的大小.

         当n=1时, ；

         当n=2时, ；

         当n=3时, ；

         当n=4时, .

         猜想时，.   ………………………………13分            

         用数学归纳法证明

         (1)当n=2时，左边，右边，成立.

         (2)假设当n=k时, 不等式成立，即.

            当n=k+1时,

.

             即当n=k+1时，不等式也成立.

             由（1）（2），可知时，都成立.

             所以 （当且仅当n＝1时，等号成立）

             所以.即. …………… …… 16分