Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上．
（1）证明：{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）若{b_n}表示直线A_nA_n+1的斜率，且b_n＞m²-2m+

1

3

对n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上，可得an+1=

an

an+1

，两边取倒数得

1

an+1

=

1

an

+1，得到

1

an+1

-

1

an

=1，即可证明；
（2）利用（1）可得b_n，即可得出其最小值，已知b_n＞m²-2m+

1

3

对n∈N^*恒成立?[bn]min＞m2-2m+

1

3

，解出即可．

解答：（1）证明：∵点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上，∴an+1=

an

an+1

，
两边取倒数得

1

an+1

=

1

an

+1，得到

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}是首项为

1

a1

=1，公差为1的等差数列，
∴

1

an

=1+(n-1)×1=n，∴an=

1

n

．
（2）解：∵b_n=

an+2-an+1

an+1-an

=

1 n+2 - 1 n+1

1 n+1 - 1 n

=

n

n+2

，∴bn+1=

n+1

n+3

，
∴b_n+1-b_n=

n+1

n+3

-

n

n+2

=

2

(n+2)(n+3)

＞0，即数列{b_n}是递增数列，其最小值为b1=

1

3

．
∵b_n＞m²-2m+

1

3

对n∈N^*恒成立，∴[bn]min＞m2-2m+

1

3

，
即

1

3

＞m2-2m+

1

3

，化为m²-3m＜0，解得0＜m＜3．
∴实数m的取值范围是（0，3）．

点评：熟练掌握“取倒数法”求数列的通项公式、把已知等价转化、一元二次不等式的解法等是解题的关键．