Question

设函数，曲线在点处的切线方程。

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

Answer 1

,

解析:

解：（Ⅰ）方程可化为．

当时，．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

又，

于是解得故．┈┈┈┈┈┈┈┈5分

（Ⅱ）设为曲线上任一点，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

由知曲线在点处的切线方程为

，即．┈┈┈┈┈┈┈2分

令得，从而得切线与直线的交点坐标为,

令得，从而得切线与直线的交点坐标为.┈┈┈┈┈4分

所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为．

故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，

此定值为．                                    ┈┈┈┈┈┈┈┈2分