题目内容
已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=
AB=1,PM=kPB. (1)若k=
时,试判断PD与平面AMC的位置关系,并给予证明;
(2)k为何值时,二面角A-MC-B大小为
?
解:(1)PD∥平面AMC.?
以AD,AB,AP为x,y,z轴建立如图坐标系,则P(0,0,1),C(1,1,0),B(0,2,0),D(1,0,0),M(0, ,). ?
∴=(-1,0,1),
=(0,
,
),
=(-1,-
,
). ?
=λ
+μ
,?
∴
?
∴λ=
,μ=1. ?
=
+
,∴DP∥平面AMC. ?
(2)设平面AMC的法向量n1=(a,b,1),平面MCB的法向量为n2=(c,d,1).?
M(0,2k,1-k),
=(1,1,0),
=(0,2k,1-k),
=(1,-1,0),
=(0,2,-1).?
∴
∴
∴
∴n1=(
,
,1). ?
∴
∴
∴
∴n2=(
,
,1). ?
若二面角AMCB的大小为
,?
则cos〈n1,n2〉=
=
,?
∴(
+1)×
=2.?
∴
=
.?
∴k2-6k+3=0.?
∴k=3±
(∵0≤k≤1,∴3+6舍去).?
∴k=3-
，?
即当k=3-
时,二面角AMCB的大小为
.
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．