Question

（2012•湖南模拟）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（n∈N⁺，且1≤n≤98）的关系表如下：

n	1	2	3	4	…	98
p	2 99	1 49	2 97	1 48	…	1

又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失

a

2

元（a＞0）．
（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；
（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（

3

≈1.73）．

Answer 1

分析：（1）由题意可知p=

2

100-n

（1≤n≤98，n∈N₊）．日产量n件中，正品（n-pn）件，从而可得日盈利额函数；
（2）求出日产量函数，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意可知p=

2

100-n

（1≤n≤98，n∈N₊）．日产量n件中，正品（n-pn）件，
日盈利额T（n）=a（n-pn）-

a

2

pn=a（n-

3n

100-n

）（1≤n≤98，n∈N₊）．
（2）

T(n)

a

=3+n-

300

100-n

（a＞0）=103-[（100-n）+

300

100-n

]≤103-2

300

≈68.4，当且仅当100-n=

300

100-n

，
即n=100-10

3

≈82.7，而n∈N₊，且

T(82)

a

＜

T(83)

a

，
故当n=83时，

T(n)

a

取得最大值，即T取得最大值．

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，根据题意列出函数关系式，并考查利用基本不等式求最值，属于中档题．