Question

（2012•湖南模拟）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．

解答：解：当|m|≤2时，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立等价于当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立．
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．
当x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2，∴x-

3

x

＜-2，从而解得0＜x＜1；
当x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，从而解得-1＜x＜0．
综上可得-1＜x＜1，从而（b-a）_max=1-（-1）=2
故选B．

点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．