Question

（2012•湖南模拟）已知函数f(x)=

-x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2 )

（x∈R），
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）题目给出的是分段函数，借助于单调性求出函数在各个区间上的范围，则函数的值域可求，最小值可求；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）中求出的f（x）的最小值代入不等式f（x）≥m²+2m-2，求出对任意x∈R恒成立的m的范围，根据函数y=（m²-1）^x是增函数求出m的范围，然后分情况讨论“p或q”为真，“p且q”为假时的实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为函数已知函数f(x)=

-x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2 )

（x∈R），
当x＜-2时，f（x）∈（1，+∞）；当-2≤x≤

1

2

时，f（x）∈[1，

7

2

]；当x＞

1

2

时，f（x）∈(

7

2

，+∞)
所以函数的值域为[1，+∞），最小值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m²+2m-2≤1，
即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
所以命题p：-3≤m≤1．
对于命题q，函数y=（m²-1）^x是增函数，则m²-1＞1，即m²＞2，
所以命题q：m＜-

2

或m＞

2

由“p或q”为真，“p且q”为假可知有以下两个情形：
若p真q假，则

-3≤m≤1 - 2 ≤m≤ 2

解得：-

2

≤m≤1，
若p假q真，则

m＜-3或m＞1 m＜- 2 或m＞ 2

解得：m＜-3，或m＞

2

．
故实数m的取值范围是(-∞，-3)∪[-

2

，1]∪(

2

，+∞)．

点评：本题考查了分段函数的最小值的求法及复合命题真假的判断，分段函数的值域分段求，最后取并集；
复合命题的真值表：