Question

设斜率为k₁的直线L交椭圆C：

x2

2

+y2=1于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，x1+x2=-

4k1b

1+2k1 2

，又中点M在直线上，所以

y1+y2

2

=k1(

x1+x2

2

)+b，由此能求出k₁?k₂的值．
（2）对于椭圆，k1•k2=-

b2

a2

，已知斜率为k₁的直线L交双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．则k₁?k₂的值为

b2

a2

．
解法一：设直线方程为y=k₁x+d，代入

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，由此能求出k1•k2=

b2

a2

．
解法二：设点A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中点M（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

K1=

(y2-y1)

(x2-x1)

，又因为点A，B在双曲线上，则

x12

a2

-

y12

b2

=1与

x22

a2

-

y22

b2

=1作差得到k1•k2=

b2

a2

．

解答：（1）解：设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得：
（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，
x1+x2=-

4k1b

1+2k1 2

，
又中点M在直线上，
∴

y1+y2

2

=k1(

x1+x2

2

)+b，
从而得弦中点M的坐标为（-

2k1b

1+2k2

，

b

1+2k2

），
k2=-

1

2k1

，
∴k1k2=-

1

2

．
（2）对于椭圆，k1•k2=-

b2

a2

已知斜率为k₁的直线L交双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．则k₁?k₂的值为

b2

a2

．
（解一）、设直线方程为y=k₁x+d，
代入

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）方程并整理，
得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，

y1+y2

2

=k1(

x1+x2

2

)+d=

b2d

b2-a2k12

，
所以k2=

y1+y2

x1+x2

=

b2

k1a2

，
即k1•k2=

b2

a2

．
（解二）设点A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中点M（x₀，y₀）
则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，
K1=

(y2-y1)

(x2-x1)

又因为点A，B在双曲线上，
则

x12

a2

-

y12

b2

=1与

x22

a2

-

y22

b2

=1，
作差得

a2

b2

=

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)( x   2 +x1)

=k1

k

2

，
即k1•k2=

b2

a2

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是计算繁琐，容易出错．