Question

设斜率为k₁的直线L交椭圆C：于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．

Answer 1

（1）解：设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得：
（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，
，
又中点M在直线上，
∴，
从而得弦中点M的坐标为（），
，
∴．
（2）对于椭圆，
已知斜率为k₁的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．则k₁?k₂的值为．
（解一）、设直线方程为y=k₁x+d，
代入（a＞0，b＞0）方程并整理，
得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，
，
所以，
即．
（解二）设点A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中点M（x₀，y₀）
则，
，

又因为点A，B在双曲线上，
则与，
作差得，
即．
分析：（1）设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，，又中点M在直线上，所以，由此能求出k₁?k₂的值．
（2）对于椭圆，，已知斜率为k₁的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．则k₁?k₂的值为．
解法一：设直线方程为y=k₁x+d，代入（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，由此能求出．
解法二：设点A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中点M（x₀，y₀），则，又因为点A，B在双曲线上，则与作差得到．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是计算繁琐，容易出错．