Question

下列图象中，有一个是函数f(x)=

1

3

x3+ax2+(a2-1)x+1（a∈R且a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（-1）的值为

-

1

3

．

Answer 1

分析：利用积的导数的运算法则求函数的导数，利用二次函数的图象和性质进行判断即可．

解答：解：因为f(x)=

1

3

x3+ax2+(a2-1)x+1（a∈R且a≠0），
所以f'（x）=x²+2ax+（a²-1）=（x+a-1）（x+a+1），则对应二次函数的图象开口向上，对应方程的两个根为1-a和-1-a．
所以不是第二个图象．
因为a≠0，所以f'（x）=x²+2ax+（a²-1）不是偶函数，所以图象不关于y轴对称，
所以不是第一个图象，所以第三个是导函数f′（x）的图象．
由图象可知，导函数f′（x）的图象过原点，所以f'（0）=a²-1=0，
解得a=1或a=-1，
当a=1时，对应方程的两个根分别为0，-2，不满足方程第二个根为正，所以不成立舍去．
当a=-1时，对应方程的两个根分别为0，2，满足方程第二个根为正，所以成立．
此时f(x)=

1

3

x3-x2+1，所以f(-1)=-

1

3

-1+1=-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．

点评：本题主要考查导数的基本运算，二次函数的图象和性质，综合性较强．考查学生分析问题的能力．