Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成角为30°．
（1）求二面角P-CE-D的大小；
（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．

Answer 1

【答案】分析：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，
（1）设平面PCE的一个法向量为．则二面角P-CE-D的大小即为此法向量与的夹角的大小．
（2）D（a，0，0），则，则点D到平面PCE的距离，d=2，则，AD=．
解答：解：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，
（1）连接OC，则∠PCO为PC与面AC所成的角，∠PCO=30°，
设AD=2a，则，
故，
则，，，
设平面PCE的一个法向量为．
则得，
又平面DCE的一个法向量），，
故二面角P-CE-D为（8分）
（2）D（a，0，0），则，
则点D到平面PCE的距离
d=2，则，AD=（12分）
点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．