题目内容

已知椭圆M： $数学公式$ 的面积为πab，M包含于平面区域Ω： $数学公式$ 内，向平面区域Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）试求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若斜率为 $数学公式$ 的直线l与椭圆M交于C、D两点，点 $数学公式$ 为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论、

解：（Ⅰ）平面区域Ω： $\text{[math]}$ 是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$ ．
所以，椭圆M的方程为 $\text{[math]}$
（Ⅱ）设直线l的方程为： $\text{[math]}$ ，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线l'的方程与椭圆方程得：
$\text{[math]}$
（1）代入（2）得： $\text{[math]}$
化简得：x²+bx+b²-3=0）

当△＞0时，即，b²-4（b²-3）＞0
也即，|b|＜2时，直线l'与椭圆有两交点，
由韦达定理得： $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
则k₁+k₂= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以，k₁+k₂为定值．
分析：

（Ⅰ）平面区域Ω： $\text{[math]}$ 是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得 $\text{[math]}$ ，由此可导出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为： $\text{[math]}$ ，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线l'的方程与椭圆方程得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
然后结合题设条件，由根的判别式和根与系数的关系能够推导出k₁+k₂为定值0．
点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题、仔细解答，避免出现不必要的错误．