Question

（本大题满分12分）定义在上的函数，，当时，，且对任意的、，有，

求证：（1）；（2）对任意的，恒有；

（3）证明：是上的增函数；（4）若，求的取值范围。

Answer 1

（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1    …………………2分

（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0  …………6分

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0

 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数…9分

（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，

f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0<x<3   ………………12分