Question

（2010•武汉模拟）过定点P（2，1）的直线l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为（　　）

• A．8
• B．10
• C．12
• D．4

  5

Answer 1

分析：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则ON=2，ON=1．设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα，MA=cotα，AP=cscα，PB=2secα．
于是△OAB的周长L=（2+cotα）+（1+2tanα）+（cscα+secα）=6+(cot

α

2

-1)+

4

cot α 2 -1

，由此能够导出L≥6+2

4

=10．

解答：解：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则ON=2，ON=1．
设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα，MA=cotα，AP=cscα，PB=2secα．
于是△OAB的周长L=（2+cotα）+（1+2tanα）+（cscα+secα）
=3+

1+cosα

sinα

+

2(1+sinα)

cosα

=3+

2cos 2 α 2

2sin α 2 cos α 2

+

2(cos α 2 +sin α 2 )2

cos2 α 2 -sin2 α 2

=3+cot

α

2

+

2(cos α 2 +sin α 2 )

cos α 2 -sin α 2

=3+cot

α

2

+

2(cos α 2 -sin α 2 +2sin α 2 )

cos α 2 -sin α 2

=5+cot

α

2

+

4sin α 2

cos α 2 -sin α 2

=6+(cot

α

2

-1)+

4

cot α 2 -1

，
∵α∈(0，

π

2

)，∴

α

2

∈(0，

π

4

)，cot

α

2

-1＞0，
∴L≥6+2

4

=10．
故选B．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的合理运用．