Question

（本小题满分l2分）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．

（1）证明：；

（2）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；

（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析

（2）满足AG=1/4AP的点G即为所求

（3）

【解析】解：解法一：（Ⅰ）∵平面ABCD，，

AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

 

则A(0，0,0)B(1,0,0)F(1,1,0)D(0,2,0)．，………2分

不妨令P(0,0,t)∵，

∴，

即．…………………………4分

（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，

由，得，令z=1，解得：x=y=t/2．

∴．   ………………………………………………………6分

设G点坐标为(0,0,m)，E(1/2,0,0)，则，

要使EG∥平面PFD，只需，即，

得m=1/4t，从而满足AG=1/4AP的点G即为所求．……………………………8分

（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，

…………………………………………………………………………………9分

又∵PA平面ABCD，∴是PB与平面ABCD所成的角，

得，PA=1，平面PFD的法向量为    ……10分

∴，

故所求二面角A=PD-F的余弦值为．………12分

解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF=，DF=，

又AD=2，∴ ，∴    ……2分

又，∴ ，又，

∴ ……4分

（Ⅱ）过点E作交于点，则∥平面，且有…5分

再过点作∥交于点，则∥平面且，

∴  平面∥平面      …………………7分∴  ∥平面．

从而满足的点即为所求．  ……………………………………………8分

（Ⅲ）∵平面ABCD，∴是PB与平面ABCD所成的角，且．

∴ PA=AB=1   ………………………………………………………………9分

取AD的中点M，则FMAD，FM平面PAD，

在平面PAD中，过M作MNPD于M，连接FN，则PD面FMN，

则即为二面角A-PD-F的平面角………………………10分

∵∽，∴ ，

∵，且

∴  ，，

∴  ……………12分