Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等边三角形，M、N分别为BC、PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面PAD，求直线MN与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PC中点Q，可证面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；
（2）过N作NO⊥AD，连接MO，则直线MN与平面ABCD所成的角为∠MNO，即可求解．

解答 （I）证明：取PC中点Q，连接MQ，NQ．…（2分）
∵M，Q分别是BC，PC的中点，
∴MQ∥BP，∴MQ∥平面PAB．…（4分）
同理可证：NQ∥CD∥AB，∴NQ∥平面PAB…（5分）
∴面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；          …（7分）
（Ⅱ）解：过N作NO⊥AD，
∵平面ABCD⊥平面PAD，
∴NO⊥平面ABCD，
连接MO，则直线MN与平面ABCD所成的角为∠MNO…（10分）
在△MNO中，$NO=\frac{3}{4}，OM=\frac{{\sqrt{39}}}{4}$…（13分）
直线MN与平面ABCD所成角的正切值为$tan∠NMO=\frac{NO}{MO}=\frac{{\sqrt{39}}}{13}$． …（15分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定与性质，难度中档．