Question

（2013•蓟县一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：PE⊥AF；
（3）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）证明EF∥平面PAC，可直接利用三角形的中位线定理得到EF∥PC，然后由线面平行的判定定理得结论；
（2）要证PE⊥AF，因为PE?面PCD，可证AF⊥面PCD，由已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，易得AF⊥CD，再由PA=AD，点F是棱PD的中点得到AF⊥PD，则问题得证；
（3）由图形的对称性可知△PBC≌△PDC，在直角三角形PBC中，过直角顶点B作斜边PC的垂线，再连结D与垂足，即可得到二面角B-PC-D的平面角，解直角三角形求出边后利用余弦定理可求二面角的大小．

解答：（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．
（3）解：过点B作BH⊥PC于H，连接DH
∵△PBC≌△PDC，∴DH⊥PC
∴∠BHD是二面角B-PC-D的二面角．
设PA=AD=1，在△BHD中，BH=DH=

2 3

，BD=

2

∴cos∠BHD=

2 3 + 2 3 -2

2× 2 3 × 2 3

=-

1

2

，∠BHD=120°
∴二面角B-PC-D的大小为120°．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，考查了二面角的平面角的求解方法，解答此题的关键是寻找二面角的平面角，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．