题目内容

设函数f（x）的图象关于点 $数学公式$ 对称，且存在反函数f^-1（x），若f（5）=0，则f^-1（5）等于________．

-1
分析：由于函数f（x）的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，故可得f（2+x）+f（2-x）=5，用此恒等式建立相关的方程即可解出f^-1（5）的值．
解答：由函数f（x）的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，可得 f（x+2）+f（2-x）=5，对任何x都成立，
在上式中，取x=3，得到 f（5）+f（-1）=5，又f （5）=0
∴f（-1）=5
∴f^-1（5）=-1
故答案为：-1．
点评：本题考查了奇（偶）函数的对称性以及反函数的性质的应用，即由图象的对称性判断函数值之间的关系，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．

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设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜

．
（1）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f （x）＜x₁；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，证明x₀＜

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

ax2+bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围；
（III）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

ax2+bx．
（1）当a=b=

时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）当a≠0时，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M，N，则是否存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行？如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=

ax2+x+b（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）设函数f（x）的图象与x轴交点为A，曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=e^-ax•f′（x），求函数g（x）的单调区间．