Question

8．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+3}}$（n∈N^*），则a₄=$\frac{1}{53}$．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+2，从而得到{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是首项为2，公比为3的等比数列，由此能求出a₄．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+3}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+2，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=3（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
又$\frac{1}{{a}_{1}}+1$=2，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+1=2×{3}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2×{3}^{n-1}-1}$，
∴${a}_{4}=\frac{1}{2×{3}^{3}-1}$=$\frac{1}{53}$．
故答案为：$\frac{1}{53}$．

点评 本题考查数列的第4项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．