Question

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：PO⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由O，D分别为AB，PB的中点，知OD∥PA，由此能够证明OD∥平面PAC．
（2）连接OC，OP，由，O为AB的中点，AB=2，知OC⊥AB，OC=1．同理，PO⊥AB，PO=1，由此能够证明PO⊥平面PAC．
解答：证明：（1）∵O，D分别为AB，PB的中点，
∴OD∥PA…（3分）
又OD?平面PAC，PA?平面PAC…（5分）
∴OD∥平面PAC．…（6分）
（2）连接OC，OP
∵，O为AB的中点，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．…（8分）
同理，PO⊥AB，PO=1．…（10分）
又，PC²=OD²+PO²=2，
∴∠POC=90°，PO⊥OC．…（12分）
∵OC∩AB=O，…（13分）
∴PO⊥平面PAC．…（14分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．