Question

设f（t）=f(x)=

- 1 2 t+11，(0≤t＜20，t∈N) -t+41，(20≤t\ ≤40，t∈N)

g（t）=-

1

3

t+

43

3

（0≤t≤40，t∈N^*）．
求S=f（t）g（t）的最大值．

Answer 1

分析：求分段函数的最大值，就是要分类讨论函数在各区间上的“最大值”，再求出每个区间上“最大值”中的最大者，即为分段函数的最大值．

解答：解：当0≤t＜20时，
S=（

1

2

t+11）•（-

1

3

t+

43

3

）=-

1

6

（t+22）（t-43）．
∵

43-22

2

=10.5，
又t∈N，∴t=10或11时，S_max=176．
当20≤t≤40时，
S=（-t+41）（-

1

3

t+

43

3

）=

1

3

（t-41）（t-43）．
∴t=20时，S_max=161．
综上所述，S的最大值是176．

点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．