Question

已知函数f（x）=x²，，g（x）=x-1．
（1）已知函数ψ（x）=log_m^x-2x，如果h(x)=

1

2

f(x)+ψ(x)是增函数，且h（x）的导函数h'（x）存在正零点，求m的值．
（2）设F（x）=f（x）-tg（x）+1-t-t²，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数t的取值范围．
（3）试求实数p的个数，使得对于每个p，关于x的方程xf（x）=pg（x）+2p+1都有满足|x|＜2009的偶数根．

Answer 1

分析：（1）由题意h′(x)=x-2+

1

xlnm

≥0在（0，+∞）上恒成立，从而问题等价于

1

lnm

≥x(2-x)=-(x-1)2+1在（0，+∞）上恒成立，从而可得0＜lnm≤1，又h'（x）存在正零点，△≥0，进而有lnm=1，从而可求m的值．
（2）先求得F（x）=x²-tx+1-t²，再对其对应方程的判别式分△≤0和当△＞0两种情况，分别找到满足|F（x）|在[0，1]上单调递增的实数m的取值范围，最后综合即可．
（3）对于方程 x³=p（x-1）+2p+1，从而x³-1=p（x+1），故对于p满足存在|x|＜2009的偶数根，所以p为有理数，x-1，x+1是相邻奇数，所以互质，进而可求实数p的个数．

解答：解：（1）由题意h′(x)=x-2+

1

xlnm

≥0在（0，+∞）上恒成立
即

1

lnm

≥x(2-x)=-(x-1)2+1在（0，+∞）上恒成立
即

1

lnm

≥1，所以0＜lnm≤1，又h'（x）存在正零点，△≥0
所以 lnm=1，即m=e
（2）由题设得F（x）=x²-tx+1-t²，
对称轴方程为x=

t

2

，△=t²-4（1-t²）=5t²-4．
由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有
（Ⅰ）当△≤0即-

2 5

5

≤t≤

2 5

5

时，又

t

2

≤0，∴解得-

2 5

5

≤t≤0．
（Ⅱ）当△＞0即t＜-

2 5

5

或t＞

2 5

5

时，
设方程F（x）=0的根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
①若t＞

2 5

5

，则

t

2

＞

5

5

，有

2t≥1 5x1＜0?F(0)=1-t2＜0.6

解得t≥2；
②若t＜-

2 5

5

，即

t

2

＜-

5

5

，有x₁＜0，x₂≤0；
∴

x1+x2＜0⇒t＜0 x1x2≥0⇒1-t2≥0⇒-1≤t≤1 t＜- 2 5 5

，∴-1≤t＜-

2 5

5

．
由①②得-1≤t＜-

2 5

5

或t≥2．综合（Ⅰ），（Ⅱ）有-1≤t≤0或t≥2．
（3）对于方程 x³=p（x-1）+2p+1
∴x³-1=p（x+1）．
∴（x-1）（x²+x+1）=p（x+1）
对于p满足存在|x|＜2009的偶数根．
所以p为有理数，x-1，x+1是相邻奇数，所以互质．
设p=

n

m

  n，m 是互质整数．
m（x-1）（x²+x+1）=n（x+1）
∴n整除（x-1）（x²+x+1），m整除x+1，
所以m≤|x+1|．
所以有x+1整除m（x²+x+1）．
设m（x²+x+1）=k（x+1）k是整数．
于是 k=mx+

m

x+1

∵m≤|x+1|，m≠0，
所以只能取m=x+1或m=-x-1．
x可取±2008，±2006，…±2，0．
共2009个，每个x都对应两个p，
于是共有4018个p满足条件．

点评：本题以函数为载体，考查恒成立问题，考查函数的单调性，考查方程根的探求，有较强的难度．易错点是忽视分类讨论，而导致错解．