Question

【题目】设等差数列的公差，数列的前项和为，满足，且，.若实数，则称具有性质.

（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；

（2）设为数列的前项和，，且恒成立.求证：对任意的，实数都不具有性质；

（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有，具有；（2）证明见解析；（3）3，4．

【解析】

（1）求得，2，3，4，5，6，7时，数列的前7项，可得和首项，得到等差数列的通项，即可判断、是否具有性质；

（2）由题意可得，代入等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得，结合集合中元素的特点，即可得证；

（3）求得，2，3，4，的特点，结合，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．

（1）设等差数列的公差，数列的前项和为，满足，且，．，

可得时，，解得，

，

，即，

，即，

解得，，同理可得，，

，，，，

，，，，

，，

则不具有性质，具有性质；

（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，

可得，

即为，

化为对为一切自然数成立，

即有，可得，

又，，

且，，可得中的元素大于，

则对任意的，，实数都不具有性质．

（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，

由于，，

，

，，，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

显然，6不成立，

故所有满足条件的的值为3，4．