Question

（本小题满分13分）

    在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，．若点在轴上，且<满足，求点的纵坐标的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】第一问中利用已知中点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为．设动点的坐标为，依题意可知，化简得到轨迹方程。

第二问中对于直线斜率是否存在分为两种情况讨论，然后

当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为 

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

将代入并整理得，

.   .

结合韦达定理得到结论。

解：（Ⅰ）设动点的坐标为，依题意可知，

整理得.

所以动点的轨迹的方程为.      ………5分

（II）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.     ………6分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入并整理得，

.   .

设，，则， .

设的中点为，则，，

所以.                                  ………9分

由题意可知，

又直线的垂直平分线的方程为.

令解得 .                         .………10分

当时，因为，所以；

当时，因为，所以.   .………12分

综上所述，点纵坐标的取值范围是.                .………13分