Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且

OM

•

ON

=0（其中O为坐标原点）求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）将x²+y²-2x-4y+m=0转化为：（x-1）²+（y-2）²=5-m，由方程表示圆，则有5-m＞0．
（2）

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

先将直线与圆方程的联立，由相交于两点，则有△=（-16）²-4×5×（8+m）＞0，又

OM

•

ON

=0，得出x₁x₂+y₁y₂=0，由韦达定理求解．
（3）线段的中点为圆心，圆心到端点的距离为半径，从而求得结论．

解答：解：（1）x²+y²-2x-4y+m=0即（x-1）²+（y-2）²=5-m（2分）
若此方程表示圆，则5-m＞0∴m＜5

（2）

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

x=4-2y代入得5y²-16y+8+m=0
∵△=（-16）²-4×5×（8+m）＞0
∴m＜

24

5

y1+y2=

16

5

，y1y2=

8+m

5

∵

OM

•

ON

=0得出：x₁x₂+y₁y₂=0而x₁x₂=（4-2y₁）•（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，∴m=

8

5

满足m＜

24

5

故的m值为

8

5

．

（3）设圆心为（a，b），且O点为以MN为直径的圆上的点x1+x2=(4-2y1)+(4-2y2)=8-2(y1+y2)=

8

5

a=

x1+x2

2

=

4

5

，b=

y1+y2

2

=

8

5

半径r=

a2+b2

=

4 5

5

圆的方程(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，同时渗透了向量，是常考题型，属中档题．