题目内容

已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，sin2C=-
3
cos2C，
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=
1
3
，求△ABC的面积．
分析：（1）根据就已知等式求出tan2C的值，由C为锐角求出2C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由sinA，sinC及c的值，利用正弦定理求出a的值，再由sinA的值求出cosA的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinB的值，再由a与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（1）∵sin2C=-
3
cos2C，即tan2C=-
3
，
又C为锐角，∴2C∈（0，π），
∴2C=
2π
3
，∴C=
π
3
；
（2）∵在锐角△ABC中，sinA=
1
3
，sinC=
3
2
，c=6，
∴根据正弦定理得：
c
sinC
=
a
sinA
，即a=
csinA
sinC
=
6×
1
3
3
2
=
4
3
3
，
∵又sinA=
1
3
，且A为锐角，∴cosA=
1-sin2A
=
2
2
3
，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
1+2
6
6
，
∴S△ABC=
1
2
acsinB=
2
3
+12
2
3
．
点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=
2
，b=
3
，B=
π
3
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f(x)=cosB•sin2x+cos2x，当x∈[-
π
4
，0]时，求f（x）的值域．
已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
（1）设
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设向量
s
=（2sinC，-
3
），
t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且
s
∥
t
，若sinA=
2
3
，求sin（
π
3
-B）的值．
（2009•淮安模拟）已知锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量
s
=（2sinC，-
3
），
t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且
s
∥
t
．
（1）求C的大小；
（2）若sinA=
1
3
，求sin(
π
3
-B)的值．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A?＞0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C，若有f（
A
π
）=
3
2
，边BC=
7
，sin B=
21
7
求△ABC的面积．
已知锐角△ABC中，三个内角为A，B，C，两向量
p
=（2-2sinA，cosA+sinA），
q
=（sinA-cosA，1+sinA），若
p
与
q
是共线向量．
（1）求∠A的大小；  
（2）求函数y=2sin2B+cos(
C-3B
2
)取最大值时，∠B的大小．

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