题目内容
设t＞1，点A（-t，0），直线AM、BM的斜率之积为-t，对于每一个t，记点M的轨迹为曲线Ct，（1）求曲线Ct的方程及焦点坐标；
（2）设O为坐标原点，过点（0，-t）的直线l与曲线Ct交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值S（t），并求S（t）的值域．
【答案】分析：（1）先设出点M的坐标，直接根据直线AM、BM的斜率之积为-t整理即可得到曲线Ct的方程，并求出焦点坐标；
（2）先设出直线方程，把直线方程与曲线方程联立，得到P、Q两点的坐标和直线的斜率之间的关系；再代入三角形的面积计算公式，结合二次函数求值域的方法即可得到结论．（注意需要换元，不然太麻烦）．
解答：解：（1）设M（x，y），则
．
整理得曲线的方程为：
（x≠±t）．
又因为t＞1，
所以焦点坐标为：（0，t（
），（0，-t（
））．
（2）设直线l：y=kx+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
得（t+k2）x2-2ktx+t2-t3，
则
，
．
∴S△=
•t•|x1-x2|=
•t•
=t2•
设t+k2=m，则S（t）=
当1＜t≤2时，
（当且仅当t+k2=2时取等号），此时
当t＞2时，
，（当且仅当t+k2=t时取等号），此时
综上，S（t）的取值范围是（
，+∞）…（9分）
点评：本题主要考查诡计方程的求法以及分类讨论思想的应用，直线与圆锥曲线的位置关系，是对知识的综合考查，是道好题
（2）先设出直线方程，把直线方程与曲线方程联立，得到P、Q两点的坐标和直线的斜率之间的关系；再代入三角形的面积计算公式，结合二次函数求值域的方法即可得到结论．（注意需要换元，不然太麻烦）．
解答：解：（1）设M（x，y），则
．整理得曲线的方程为：
（x≠±t）．又因为t＞1，
所以焦点坐标为：（0，t（
），（0，-t（））．（2）设直线l：y=kx+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
得（t+k2）x2-2ktx+t2-t3，则
，．∴S△=
•t•|x1-x2|=•t•=t2•设t+k2=m，则S（t）=
当1＜t≤2时，
（当且仅当t+k2=2时取等号），此时当t＞2时，
，（当且仅当t+k2=t时取等号），此时综上，S（t）的取值范围是（
，+∞）…（9分）点评：本题主要考查诡计方程的求法以及分类讨论思想的应用，直线与圆锥曲线的位置关系，是对知识的综合考查，是道好题
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