Question

设t＞1，点A（-t，0），直线AM、BM的斜率之积为-t，对于每一个t，记点M的轨迹为曲线C_t，
（1）求曲线C_t的方程及焦点坐标；
（2）设O为坐标原点，过点（0，-t）的直线l与曲线C_t交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值S（t），并求S（t）的值域．

Answer 1

分析：（1）先设出点M的坐标，直接根据直线AM、BM的斜率之积为-t整理即可得到曲线C_t的方程，并求出焦点坐标；
（2）先设出直线方程，把直线方程与曲线方程联立，得到P、Q两点的坐标和直线的斜率之间的关系；再代入三角形的面积计算公式，结合二次函数求值域的方法即可得到结论．（注意需要换元，不然太麻烦）．

解答：解：（1）设M（x，y），则

y

x+t

•

y

x-t

=-t    (x≠±t)．
整理得曲线的方程为：

x2

t2

+

y2

t3

=1（x≠±t）．
又因为t＞1，
所以焦点坐标为：（0，t（

t

-1)），（0，-t（

t

-1））．
（2）设直线l：y=kx+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx-t x2 t2 +  y2 t3 =1

得（t+k²）x²-2ktx+t²-t³，
则x1+x2=

2kt

t+k2

，x1x2=

t2-t3

t+k2

．
∴S_△=

1

2

•t•|x₁-x₂|=

1

2

•t•

( 2kt t+k2 )2-4• t2-t3 t+k2

=t²•

t2-t+tk2 (t+k2)2

设t+k²=m，则S（t）=t2•

mt-t m2

=t2

t

•

-( 1 m - 1 2 )2+ 1 4

当1＜t≤2时，S(t)max=

1

2

t2

t

（当且仅当t+k²=2时取等号），此时

1

2

＜S(t)≤2

2

当t＞2时，S(t)max=t•

t2-t

，（当且仅当t+k²=t时取等号），此时S(t)＞2

2

综上，S（t）的取值范围是（

1

2

，+∞）…（9分）

点评：本题主要考查诡计方程的求法以及分类讨论思想的应用，直线与圆锥曲线的位置关系，是对知识的综合考查，是道好题