Question

【题目】已知是偶函数.

(1)求的值；

(2)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点；

(3)设若函数的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).

【解析】

(1)由经检验的满足题意；

(2)证明:即证方程组最多只有一组解，

即证方程最多只有一个实根.

下面用反证法证明:

假设上述方程有两个不同的解则有：

.

但时，不成立.

故假设不成立.从而结论成立.

(3)问题转化为方程:只有唯一解.

令，则可化为关于的方程：只有唯一正根.

若,则上述方程变为,无解.故

若二次方程(*)两根异号,即.此时方程(*)有唯一正根,满足条件；

若二次方程(*)两根相等且为正,则.

故的取值范围是:.