Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³-x²-ax+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈（0，+∞），g′（x）≥f（e）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出原函数的导函数，由导函数等于0得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段后判断在不同区间内导函数的符号，从而求得函数f（x）的单调区间；
（2）求出函数g（x）的导函数，配方后求出导函数的最小值，代入g′（x）≥f（e）后分离变量即可得到实数a的取值范围．
解答：解：（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1．
令f′（x）＞0，得lnx＞-1，∴x＞．
由于f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f（x）在上单调递减，在单调递增；
（2）由g（x）=x³-x²-ax+2．
所以g′（x）=x²-2x-a=（x-1）²-1-a．
则g′（x）_min=-1-a．
由g′（x）≥f（e）恒成立，
得-1-a≥f（e）=e恒成立，
∴a≤-1-e．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用配方法求函数的最值，训练了分离变量法，是中档题．