Question

已知函数f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a为实常数．
（1）当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（2）求函数g(x)=f′(x)-

ax

1+x

的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数，将a分类出来得则a＜ln(1+x)+

x

1+x

，然后利用导数研究不等式右式函数的最小值即可；
（2）先求出函数g（x）的解析式，求出导函数g'（x），讨论a与1的大小，从而确定导函数的正负，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

解答：解：（1）由题意知：f′(x)=ln(1+x)+

x

1+x

-a＞0
则a＜ln(1+x)+

x

1+x

，（2分）
令h(x)=ln(1+x)+

x

1+x

，h′(x)=

1

1+x

+

1

(1+x)2

∵x∈[1，+∞），∴h'（x）＞0
即h（x）在[1，+∞）上单调递增（4分）
∴a＜h(1)=

1

2

+ln2，
∴a的取值范围是(-∞，

1

2

+ln2)．（6分）
（2）由（1）知g(x)=ln(1+x)+

(1-a)x

1+x

-a，x∈(-1，+∞)
则g′(x)=

1

1+x

+

1-a

(1+x)2

=

x+2-a

(1+x)2

（7分）
①当a＞1，x∈（-1，a-2）时，g'（x）＜0，g（x）在（-1，a-2）上单调递减，
x∈（a-2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（a-2，+∞）上单调递增（9分）
②当a≤1时，g'（x）＞0，g（x）在（-1，+∞）上单调递增（11分）
综上所述，当a＞1时，g（x）的增区间为（a-2，+∞），减区间为（-1，a-2）
当a≤1时，g（x）的增区间为（-1，+∞）（12分）

点评：研究不等式恒成立问题常常利用参数分离法，考查了导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于中档题．