Question

已知函数y＝a(a＞0，且a≠1)，当x∈[1，3]时有最小值8，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：y＝a(a＞0，且a≠1)是一个复合函数，其中外层函数y＝au，无论a为何值，它都是单调函数，所以关键要看u＝x2－3x＋3的值域． 　　解：令u＝x2－3x＋3，则y＝au，u＝＋， 　　由x∈[1，3]，知umin＝u＝，umax＝u(3)＝3． 　　所以，当a＞1时，ymin＝a＝8，解得a＝16； 　　当0＜a＜1时，ymin＝a3＝8，解得a＝2(舍去)． 　　因此，a的值为16． 　　点评：求复合函数的值域，往往使用换元法将复合函数分解为两个或两个以上的基本初等函数，然后由其定义域确定中间变量u的值域，再以u为自变量确定y的值域，这种方法是确定复合函数值域的一般方法． 　　求解函数最值的方法比较多，而求解指、对、幂函数最值的常用方法是以上四种方法．需要注意的是，有时对同一道题并不只用一种方法就能解决，往往需要同时利用多种方法求解，如换元法、分类讨论法等往往贯穿于其他的方法中．