Question

已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意实数m、n都满足f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且f(－)＝0，当x＞－时，f(x)＞0． (1) 证明：f(x)是增函数 (2) 解不等式1＋f≤f(1)＋f(ax)(a＞0)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：设x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f［(x2－x1)＋x1］－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－l－f(x1)＝f(x2－x1)－1＝f［(x2－x1)－］． 　　∵x2－x1－＞－，∴f(x2－x1－)＞0． 　　∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)是增函数．
(2)	已知1＋f≤f(1)＋f(ax)，即f≤f(1)＋f(ax)－1＝f(1＋ax)． 　　∵f(x)是增函数，∴＋≤1＋ax． 　　又≥1，∴1≤1＋ax，即ax≥0(a＞0)． 　　∴有 　　∴当0＜a＜1时，解集为［0，］；当a≥1时，解集为［0，＋∞］． 　　点评：这是一个抽象函数，要证明它在R上为增函数，我们可直接利用单调性的定义去证明，关键是如何运用条件f(－)＝0且当x＞－时f(x)＞0．在解决第(2)题时，我们如何使“变量”从函数符号中“脱颖而出”，此时利用增函数的性质是解决问题的关键