Question

在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，-3），试问
（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．

Answer 1

分析：（1）若能求出y轴上点M满足|MA|=|MB|，则问题得到解决，故可先假设存在，设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y，若y值存在，则说明假设成立，在y轴上 存在点M，满足|MA|=|MB|，否则说明不存在．
（2）由（1）知，△MAB为等腰三角形，若能证明|MA|=|AB|则可以说明存在点M，使△MAB为等边三角形，故可令|MA|=|AB|建立方程求y，若y值存在，则说明存在，否则说明不存在．

解答：解：（1）假设在y轴上存在点M，满足|MA|=|MB|．
因M在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，
可得

32+y2+12

=

12+y2+32

，
显然，此式对任意y∈R恒成立．
这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|．
（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由（1）可知，y轴上任一点都有|MA|=|MB|，
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
因为|MA|=

(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2

=

10+y2

|AB|=

(1-3)2+(0-0)2+(-3-1)2

=

20

于是

10+y2

=

20

，解得y=±

10

故y轴上存在点M使△MAB等边，
M坐标为（0，

10

，0），或（0，-

10

，0）．

点评：本题考点是点、线、面间的距离计算，考查用两点距离公式判断点M的存在性问题．其规律是假设存在，建立相关等式，求解，若能解出则说明假设成立，否则说明假设的对立面成立．在存在性问题的判断中，常用这一思路来解决问题．学习时应好好体会其中的逻辑关系以及此方法适应的范围．