在单调递增数列{an}中.a1=2.a2=4.且a2n-1.a2n.a2n+1成等差数列.a2n.a2n+1.a2n+2成等比数列.n=1.2.3.-．求证:数列$\{\sqrt{{a {2n}}}\}$为等差数列,(ⅱ)求数列{an}的通项公式．(Ⅱ)设数列$\{\frac{1}{a n}\}$的前n项和为Sn.证明:Sn＞$\frac{4n}{3(n+3)}$.n∈N*� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列$\{\sqrt{{a_{2n}}}\}$为等差数列；
（ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n项和为S_n，证明：S_n＞$\frac{4n}{3（n+3）}$，n∈N^*．

分析（Ⅰ）（ⅰ）通过题意可知2a_2n=a_2n-1+a_2n+1、$a_{2n+1}^2={a_{2n}}{a_{2n+2}}$，化简即得结论；（ⅱ）通过计算可知数列$\{\sqrt{{a_{2n}}}\}$的首项及公差，进而可得结论；
（2）通过（ii）、放缩、裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}}$＞4（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$），进而并项相加即得结论．

解答（Ⅰ）（ⅰ）证明：因为数列{a_n}为单调递增数列，a₁=2＞0，
所以a_n＞0（n∈N^*）．
由题意得2a_2n=a_2n-1+a_2n+1，$a_{2n+1}^2={a_{2n}}{a_{2n+2}}$，
于是$2a_{2n}^{\;}=\sqrt{{a_{2n-2}}{a_{2n}}}+$$\sqrt{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}$，
化简得$2\sqrt{{a_{2n}}}=\sqrt{{a_{2n-2}}}+$$\sqrt{{a_{2n+2}}}$，
所以数列$\{\sqrt{{a_{2n}}}\}$为等差数列．------（4分）
（ⅱ）解：因为a₃=2a₂-a₁=6，${a_4}=\frac{a_3^2}{a_2}=9$，
所以数列$\{\sqrt{{a_{2n}}}\}$的首项为$\sqrt{a_2}=2$，公差为$d=\sqrt{a_4}-\sqrt{a_2}=1$，
所以$\sqrt{{a_{2n}}}=n+1$，从而${a_{2n}}={（n+1）^2}$．
结合$a_{2n-1}^2={a_{2n-2}}{a_{2n}}$，可得a_2n-1=n（n+1）．
因此，当n为偶数时a_n=$\frac{1}{4}{（n+2）^2}$，当n为奇数时a_n=$\frac{（n+1）（n+3）}{4}$．----------（8分）
（2）证明：通过（ii）可知${a_n}=\frac{1}{2}[1+{（-1）^{n+1}}]•\frac{（n+1）（n+3）}{4}+\frac{1}{2}[1+{（-1）^n}]•\frac{{{{（n+2）}^2}}}{4}$=$\frac{1}{4}{n^2}+n+\frac{{7+{{（-1）}^n}}}{8}$．
因为a_n=$\frac{1}{4}{n^2}+n+\frac{{7+{{（-1）}^n}}}{8}≤\frac{1}{4}{n^2}+n+1=\frac{{{{（n+2）}^2}}}{4}＜\frac{1}{4}（n+2）（n+3）$，
所以$\frac{1}{a_n}＞\frac{4}{（n+2）（n+3）}=4（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{a_1}$$+\frac{1}{a_2}$$+\frac{1}{a_3}$+…$+\frac{1}{a_n}$
$＞4[（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）]$
=$4（\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}）=\frac{4n}{3（n+3）}$，
所以${S_n}＞\frac{4n}{3（n+3）}$，n∈N^*．----------（14分）