Question

等差数列{a_n}中，a₁=23，公差d为整数，若a₆＞0，a₇＜0．（1）求公差d的值；（2）求通项公式a_n；（3）求前n项和S_n的最大值．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=23，且a₆=a₁+5d＞0，a₇=a₁+6d＜0，
∴23+5d＞0，且23+6d＜0，
解得：-

23

5

＜d＜-

23

6

，又d为整数，
∴d=-4；
（2）∵a₁=23，d=-4，
∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=23-4（n-1）=27-4n；
（3）∵a₁=23，d=-4，
∴前n项和S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=23n-2n（n-1）=-2n²+25n=-2（n-

25

4

）²+

625

8

，
当n=

25

4

时，S_n有最大值，最大值为

625

8

，
而n为正整数，∴当n=6时，前n项和S_n最大，
则前n项和S_n最大值为S₆=-2×6²+25×6=78．