Question

已知实数u，v，定义运算u*v=（u-1）v，设u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1，则当

π

4

≤θ≤

2π

3

时，u*v是的值域为（　　）

• A、[-

  1

  2

   ， 

  3

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

   ， 0]
• C、[0，4]
• D、[1-

  2

   ， 

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：首先利用条件求出u*v=（u-1）v=2（cos²θ-cosθ），然后设t=cosθ，并根据角的范围得出t∈[-

1

2

，

2

2

]，再由根据二次函数的图象特点可知值域即可．

解答：解：∵u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1
∴u*v=（u-1）v=（cosθ+sinθ-1）（cosθ-sinθ-1）=2（cos²θ-cosθ）
设t=cosθ 
∵

π

4

≤θ≤

2π

3

，
t∈[-

1

2

，

2

2

]
∴u*v=2（t²-t）
∴根据二次函数的图象特点可知
当t=

1

2

时，ymin=-

1

2

当t=-

1

2

时，ymax=

3

2

∴u*v是的值域为[-

1

2

，

3

2

]
故选A．

点评：本题考查了余弦函数的定义域和值域，此题通过二次函数的特点求值域，解题过程中要注意定义域，属于中档题．